Roles: un tratamiento formal
Lo que obtiene cada rol, escrito y comprobado por simulación. Cada afirmación remite a una regla del libro blanco; los supuestos del modelo se enuncian donde entran, y los lugares donde la aritmética corrigió nuestra intuición están marcados.
Notación y reglas
Sea R la reserva, S la oferta en circulación y B = R/S el respaldo por token. Sea p_m el precio de acuñación —el coste de entrada—, que nunca baja: en la Fase 1 una función del contador de emisión, en la Fase 2 una función del tiempo. Sea P el precio de mercado. Sea B* el máximo histórico de B y X el nivel de protección, la caída admisible; el umbral es (1−X)·B*. Valores por defecto del libro blanco: X = 61,8 %, comisión de rescate f_r = 0,9 %, coeficiente de dilución k = 5,6 %, comisión de transferencia f_t de una escalera con cero por defecto.
Una posición es un par (c, p): colateral c depositado cuando el precio de acuñación era p. Representa t = c/p tokens aún no emitidos. Puede rescatarse —c vuelve, nada entra en el fondo— o cerrarse: c entra en R y t entran en S.
Cerrar cambia el respaldo a B′ = (R + c)/(S + t). Como c/t = p, B′ queda entre B y p: por encima de B cuando p > B, por debajo cuando p < B. Lo primero se premia con créditos de voto y nunca se cobra; lo segundo diluye, se cobra k·(1 − p/B) en tokens retenidos y está limitado en volumen: ningún cierre puede usar más del 38,2 % del margen sobre el umbral.
El rescate de tokens es neutro: el titular toma S_r/S de R, así que B no cambia; la comisión f_r·m se queda en la reserva y sube B ligeramente, donde m = 1/(1 − caída). Una transferencia quema f_t del importe: S baja, R no, B sube. Un voto quema tokens del mismo modo.
Dos límites se sostienen por arbitraje en cuanto existe un mercado: P ≤ p_m, porque acuñar supera a comprar por encima del coste de entrada; y P ≥ B·(1 − f_r·m), porque rescatar supera a vender por debajo del respaldo en más que la comisión. De ahí, B ≤ p_m salvo transitoriamente: en una Fase 1 estancada, quemas intensas pueden llevar B por encima de un precio de acuñación quieto, y entonces acuñar y cerrar es rentable y devuelve B mediante una dilución contenida. En la Fase 2 el precio de acuñación crece con el tiempo y la excepción desaparece.
La dinámica del respaldo
Cuatro canales mueven B hacia arriba: cierres por encima del respaldo, la comisión de rescate, la comisión de transferencia y los votos. Un canal lo mueve hacia abajo: los cierres por debajo del respaldo. Con colateral en monedas estables no hay otro. La asimetría está primero en el número de canales, después en su tamaño y después en cuándo puede actuar el descendente.
El canal ascendente no está acotado: un cierre a p ≫ B añade (p − B)·t/(S + t), y nada limita p. El descendente está acotado dos veces: por el umbral, al que B puede acercarse pero no llegar, y por la fracción: cada cierre dilutivo toma como máximo el 38,2 % del margen restante, así que tras n cierres queda como máximo 0,618ⁿ de él.
El canal descendente solo puede actuar sobre una posición cuyo precio de entrada esté por debajo del respaldo actual, y toda posición entra al precio de acuñación, por encima del respaldo. Así que una posición se vuelve dilutiva solo después, cuando B ha subido más allá de su entrada. Las correcciones son consecuencia del crecimiento: posiciones antiguas tomando su ganancia, no dinero nuevo que se va.
La salida no baja B. El rescate retira R y S en la misma proporción y deja la comisión. En la simulación, un choque de salida —el doce por ciento de la oferta rescatado cada ciclo sin entrada durante cincuenta ciclos— no bajó el respaldo ni una unidad; el precio de mercado fue al suelo y los titulares se fueron, y cuando la entrada volvió los primeros cierres por encima del respaldo elevaron B de un salto, porque el coste de entrada había seguido subiendo mientras nadie acuñaba. El estancamiento almacena potencial; no lo destruye.
Lo que la simulación corrigió en nuestra intuición fue el tamaño de las correcciones ordinarias. Cuando los titulares cierran en cuanto cerrar supera a rescatar —lo que ocurre mientras la posición está solo ligeramente por debajo del respaldo—, los cierres dilutivos son entre el uno y el tres por ciento de todos los cierres, su daño es un pequeño porcentaje de lo que añaden los demás, y la caída desde el máximo se queda en un dígito. Una corrección profunda necesita una ballena: una posición grande mantenida muy por debajo del respaldo. El umbral y la fracción existen para ese caso. En el modelo, una posición de tres veces la oferta, entrada a una quinta parte del respaldo, lleva B a 0,41 de su máximo en cuatro ciclos frente a un umbral de 0,382, y se detiene. La figura 1 muestra las tres fases; la figura 2, la ballena.
Figura 1. Respaldo, coste de entrada y precio de mercado a través de entrada, estancamiento y un choque de salida Simulación sobre las reglas del libro blanco. El respaldo no cae en el choque; el precio va al suelo; los primeros cierres tras el choque elevan el respaldo de un salto.
Una ballena contra el umbral
La regla de la fracción es lo que convierte un precipicio en una escalera. Una posición de tres veces la oferta, entrada a una quinta parte del respaldo, no puede cerrarse de una vez: cada cierre puede usar el 38,2 % del margen sobre el umbral, así que el primero baja el respaldo alrededor de un cuarenta por ciento, el segundo menos, el tercero menos aún, y el cuarto agota la posición con el respaldo en 0,41 de su máximo —por encima del umbral de 0,382— y con tres ciclos en los que todos los demás pudieron verlo venir y actuar.
Figura 2. Una ballena contra el umbral Una posición barata de tres veces la oferta a una quinta parte del respaldo: cada cierre toma alrededor de un tercio del margen restante; el respaldo se detiene en 0,41 del máximo frente a un umbral de 0,382.
El depósito de posiciones baratas
Definamos el depósito de dilución D = Σ (B − pᵢ)·tᵢ sobre las posiciones con pᵢ < B: el daño que todas las posiciones baratas podrían causar si se cerraran a la vez, antes de que la fracción las contenga. D no se alimenta con la entrada —las posiciones nuevas entran por encima del respaldo— y solo se alimenta con el crecimiento de B, que retroactivamente pone en ganancia a las posiciones antiguas.
Se vacía de tres maneras. Un titular que rescata una posición barata toma c y nunca diluye. Un titular que esperó hasta que la fracción solo le deja cerrar una esquirla por ciclo tiende a rescatar; el libro blanco señala que el coeficiente de dilución hace el rescate más atractivo que el cierre justo para esas posiciones. Y cada cierre dilutivo que ocurre elimina su propio término.
En la simulación el depósito es pequeño y transitorio: con cierres inmediatos nunca supera una fracción de un por ciento de la reserva; con titulares pacientes brota en los primeros ciclos y desaparece en cuarenta. El stock de posiciones baratas es finito, se repone solo con el crecimiento y nunca con la entrada; el de posiciones caras no está acotado y se repone con cada depósito. La figura 3 muestra ambos casos.
Figura 3. El depósito de dilución con titulares inmediatos y pacientes Parte de la reserva que las posiciones baratas podrían diluir si se cerraran a la vez. Se llena solo cuando el respaldo sube y se vacía en decenas de ciclos.
Rol 1 — el ahorrador: una compra con reembolso, y su precio
Una posición (c, p) mantenida hasta un momento en que el precio de mercado es P vale max(c, c·P/p): rescatar por c, o cerrar en c/p tokens y venderlos. Frente al mercado, esto es una compra de c/p tokens con derecho a reembolso íntegro, y el reembolso no es gratis. El mismo c en el mercado compra c/P tokens, y P ≤ p siempre. Los tokens a los que se renuncia, 1 − P/p, son la prima.
La prima la fija dónde está el mercado dentro del corredor. En el techo, P = p y el reembolso no cuesta nada: acuñar domina estrictamente a comprar, porque añade un reembolso a c a los mismos tokens. En el suelo, P = B·(1 − f_r·m), y con un corredor de dos a diez veces de ancho la prima es del treinta al ochenta por ciento del depósito. De ahí la regla: acuñar cerca del coste de entrada, comprar cerca del respaldo. La figura 4 dibuja el pago y la prima.
Como p_m solo sube, cada posición posterior lleva un precio de ejercicio mayor que cualquier anterior: dos ahorradores que acuñan con un ciclo de diferencia tienen reembolsos sobre los mismos tokens a precios distintos, y el anterior domina. Ese es todo el contenido de «el coste de entrada sube» para el ahorrador: una afirmación sobre precios de ejercicio, no sobre P.
Figura 4. Una posición frente a un token, y el precio del reembolso Izquierda: valor a la salida por unidad depositada. Derecha: tokens a los que se renuncia por acuñar en lugar de comprar, según el lugar del mercado en el corredor y la anchura del corredor.
Rol 2 — el titular: un suelo que sube por regla dentro de un corredor ancho
Un token vale P, acotado por abajo por B·(1 − f_r·m) y por arriba por p_m. El suelo no puede caer por debajo de (1−X)·B*·(1 − f_r·m) mientras la reserva esté en monedas estables: el 38,2 % del máximo en el nivel por defecto, el 76,4 % en el estricto. Y el suelo sube: por la dinámica anterior, B es una escalera que la salida no baja.
En lo que la aritmética insiste es en la anchura del espacio sobre el suelo. En el modelo el coste de entrada está entre dos y diez veces el respaldo, y el precio de mercado se ha movido de cerca del techo a cerca del suelo y de vuelta dentro de ese espacio: una caída de hasta el ochenta por ciento sin que se tocara regla alguna. El suelo es donde las reglas hacen su trabajo; el espacio sobre él pertenece a la demanda.
El corredor es un estado, no una constante. En la Fase 2 con una entrada estable tiende a ensancharse: el coste de entrada crece a la tasa mientras el respaldo crece como media de las entradas pasadas. Dos cosas lo estrechan: una entrada grande respecto a la oferta, y las quemas por transferencia, que retiran del denominador tokens antiguos y baratos. El titular tiene por tanto un interés directo en una comisión de transferencia distinta de cero.
Rol 3 — el pagador: la rotación alimenta el suelo, y quién lo paga
Sea f_t la comisión de transferencia y k·S la rotación anual de la moneda. Las quemas retiran f_t·k·S tokens al año; R no se toca; B sube por el factor 1/(1 − f_t·k) al año. Con f_t = 0,0618 % y k = 120 eso es el 7,7 % anual; con 0,1 %, el 12,7 %. El libro blanco da las mismas cifras.
La subida no sale de la nada. La comisión la paga el emisor de cada transferencia, así que la quema transfiere valor de quienes mueven la moneda a quienes la tienen. Un comerciante que acepta ASTRX y lo conserva está en el lado receptor; un participante que solo paga, en el pagador. El canal es honesto y conviene conocer su dirección.
La comisión es gobernada y por defecto es cero; los titulares la activan desde la etapa 2. La figura 5 muestra la subida anual de B frente a la rotación para la escalera de tasas.
Figura 5. Subida anual del respaldo por quemas de transferencia B sube por 1/(1 − f_t·k) al año; k es cuántas veces cambia de manos un token. Tasas de la escalera de comisión de transferencia.
Rol 4 — el trader: un bucle que se limita a sí mismo
Sea w = P_high − P_low la banda realizada dentro del corredor, y sea κ el coste de un ciclo completo: gas dos veces, comisión del fondo dos veces, comisión de transferencia, deslizamiento. La ganancia esperada del trader por ciclo es w − κ. Cuando w > κ, negociar compensa; cada operación vende cerca del máximo y compra cerca del mínimo, lo que estrecha w. Cuando w cae a κ, la ganancia es cero y los traders se van; con menos traders, w se ensancha; vuelven. La banda de equilibrio es w* ≈ κ, y la proporción de traders oscila alrededor del nivel que la mantiene ahí. La figura 6 dibuja el bucle.
Lo que distingue este mercado de uno estocástico es que ambos niveles de referencia están publicados y defendidos por el contrato: el trader no adivina dónde están los límites. Sus riesgos son que la banda se mueva con el corredor —ambos límites suben— y el multiplicador de rescate, que ensancha la banda inferior precisamente cuando el respaldo está en caída.
Figura 6. El bucle del trader Anchura de la banda frente a la proporción de traders; el ciclo circula alrededor del equilibrio w* ≈ κ.
Rol 5 — el proveedor de liquidez: un rango con bordes, lejanos
En un fondo de liquidez concentrada el proveedor elige un rango [a, b] y cobra comisiones solo mientras el precio está dentro. El corredor da un rango natural: a = B·(1 − f_r·m), b = p_m. El arbitraje devuelve el precio al corredor desde cualquier lado, así que la posición nunca está fuera de rango mucho tiempo, y la pérdida impermanente —la pérdida por salir el precio del rango— está acotada por la anchura del corredor.
El matiz honesto es que esa anchura es grande. Una cota de cuatro veces es un consuelo débil, y un proveedor que cubre todo el corredor reparte su liquidez muy fina. El rango práctico es más estrecho que el corredor y se reajusta cuando los límites se mueven; cuánto más estrecho, y qué cuesta, es el tema del estudio de arbitraje. La figura 7 muestra el rango dentro de un corredor que sube.
Figura 7. El rango del proveedor dentro de un corredor que sube El rango sigue a los límites; el precio vuelve a él desde cualquier lado.
El segundo bucle: saturación y retorno
El primer bucle acota las correcciones; un segundo acota el crecimiento mismo. El conjunto de participantes es finito. Una subida los atrae hasta que están dentro, y entonces la acuñación se detiene, porque no hay nadie nuevo que acuñe. Sin posiciones nuevas no hay cierres por encima del respaldo; B deja de subir; el precio de mercado, ya sin un suelo ascendente que tire de él, se desliza hacia él. Los titulares que vinieron por la subida se van.
Esto no es un evento de insolvencia, y la razón es estructural. Un token no es un derecho a una suma fija; es una parte S_r/S de la reserva R. Sea cual sea R, los derechos sobre ella suman exactamente R. El rescate paga esa parte y deja la comisión, así que B no cae con la salida y la reserva es, en todo momento, suficiente por definición. No hay estampida que iniciar, porque no hay nada a lo que llegar primero.
Lo que hace la salida es despejar el mercado y abrir el descuento. En el suelo un token cuesta su respaldo, mientras el coste de entrada ha seguido subiendo: la distancia entre ambos es ahora la mayor que ha habido. El retorno pasa por esa distancia, pero comprando, no acuñando. Acuñar en el techo y vender en el suelo pierde; comprar en el suelo consigue de dos a cinco veces los tokens que daría acuñar, con el mismo suelo debajo. Los compradores vienen por el descuento, el precio se recupera hacia el techo, y solo entonces se reanuda la acuñación, cuando su prima se ha reducido. En la simulación las posiciones nuevas van varios ciclos por detrás de la recuperación del precio exactamente por esta razón.
Dos bucles con periodos distintos, pues. El corto: el crecimiento abarata posiciones, las posiciones baratas corrigen, las correcciones se contienen, el depósito se vacía, el crecimiento se reanuda. El largo: el crecimiento atrae participantes, los participantes se agotan, la acuñación se detiene, el mercado se despeja, el descuento se abre, los compradores vuelven, la acuñación se reanuda. Cada vuelta de cualquiera de los dos termina con B no más bajo que al empezar. El proceso no puede desbocarse, porque se queda sin gente; no puede derrumbarse, porque no hay nada que pudiera dejar de pagar. La figura 8 dibuja ambos bucles y las ondas que el modelo produce con ellos.
Figura 8. Dos bucles, y las ondas que produce el modelo Arriba: el bucle corto de las posiciones baratas y el bucle largo de la saturación. Abajo: titulares, posiciones nuevas, respaldo y precio durante trescientos ciclos bajo una regla de demanda con un conjunto finito.
Rol 6 — el fondo: una participación escrita en el contrato
La comisión del protocolo se acumula en una única dirección de tesorería; los derechos sobre ella se dividen en participaciones. Al desplegar existe una, ligada al guardián; el guardián puede añadir direcciones, cada una una participación nueva; el máximo es cien; una dirección añadida no puede ser retirada por nadie. La participación de un fondo es por tanto f/N de la comisión, N ≤ 100, y no puede diluirse por debajo de f/100 ni borrarse.
La comisión está acotada por techos fijados en el código —del 1 % del depósito al inicio de la Fase 1 al 2,8 % a su fin, 0,56 % en la Fase 2— y se cobra al crear una posición, así que es proporcional a la entrada. El fondo está alineado con la misma magnitud que optimiza el regulador, y con ninguna otra.
Cómo se sostienen los roles entre sí
El ahorrador aporta el canal ascendente: posiciones entradas por encima del respaldo y cerradas por encima de él. El pagador aporta el canal de quema y lo paga. El trader estrecha la banda y devuelve el precio al corredor. El proveedor de liquidez hace posible el trabajo del trader y cobra de todos ellos. El titular es la suma de los efectos de los demás. El fondo cobra de la entrada, que genera cada uno de los otros roles.
El circuito se cierra dos veces: en el depósito, en el bucle corto, y en el descuento, en el largo. Ambos se cierran con B no más bajo que antes, porque los canales ascendentes no están acotados y el descendente sí.
Dónde se detiene el modelo
Supone colateral en monedas estables. Con una moneda volátil en la reserva, R se mueve con esa moneda, y cada suelo por encima se mueve con él.
Toma la demanda como entrada. La oscilación de la figura 8 proviene de una regla de demanda —entrada atraída por el impulso y por el descuento respecto al techo, un conjunto finito que se rellena despacio—, no del contrato. Lo que el contrato aporta es que cada onda cabalga sobre una escalera que no baja. Si la demanda nunca se recupera, B deja de subir, no cae, y el regulador entrega el control a los titulares.
Trata P como acotado por B y p_m mediante arbitraje, lo que exige un mercado con participantes que arbitren. Antes de que exista liquidez, los límites son teóricos.
Las cifras son los valores por defecto del libro blanco. Los titulares pueden cambiar cada una de ellas salvo la fracción, la regla del umbral y la inmutabilidad del contrato.
En breve
- El trinquete funciona a dos escalas: las correcciones cortas se contienen geométricamente y solo se alimentan del crecimiento; las ondas largas de demanda chocan con un conjunto finito de participantes, y ninguna vuelta de ninguno de los bucles deja el respaldo más bajo de lo que lo encontró.
- El respaldo no cae con la salida. Es una propiedad de una participación, no de una deuda, y por eso una crisis de solvencia es imposible por definición.
- Una posición es una compra en el techo con derecho a reembolso; la prima es el descuento del mercado respecto al techo. Acuñar en el techo, comprar en el suelo.
- Las correcciones son someras con un comportamiento ordinario; las profundas necesitan una ballena, y están acotadas por el umbral y repartidas en ciclos.
- El corredor es ancho y, en la Fase 2, tiende a ensancharse; las quemas por transferencia son el único canal que lo estrecha sin entrada nueva.
- El retorno tras una onda llega comprando en el suelo, no acuñando; la acuñación se reanuda cuando el precio se acerca al techo.
Conclusiones
Lo que el modelo establece, lo que precisa y lo que encontró sin esperarlo.
- La asimetría es un teorema, no una figura retórica
Cuatro canales mueven el respaldo hacia arriba y ninguno está acotado por arriba; uno lo mueve hacia abajo y está acotado tres veces: por el umbral, por la fracción del 38,2 % y por actuar solo sobre posiciones que entraron por debajo del respaldo actual. La envolvente del respaldo no desciende; las correcciones son holgura acotada dentro de un trinquete.
- La salida nunca baja el respaldo por token
Con colateral en monedas estables el rescate es neutro y la comisión se queda. Un token es una parte de la reserva, no una deuda; los derechos sobre la reserva suman exactamente la reserva. No hay estampida que iniciar. El valor bloqueado puede reducirse sin que se plantee la solvencia.
- La onda de dos bucles es estable
El bucle corto amortigua las correcciones, el largo amortigua el crecimiento mediante la finitud de los participantes; cada vuelta de cualquiera de los dos termina con el respaldo no por debajo de donde empezó. El proceso ni se desboca ni se derrumba.
- Las correcciones nacen del crecimiento, no de la huida
Solo una posición que se abarató a posteriori —después de que el respaldo subiera más allá de su entrada— puede diluir. Las correcciones se agrupan en las subidas, donde los participantes antiguos toman su ganancia, y están ausentes en las salidas.
- Una posición es una opción de prima cero; un precio de acuñación creciente es un precio de ejercicio creciente
Para el ahorrador, «el coste de entrada sube» se reduce por completo a una afirmación sobre precios de ejercicio y no necesita una palabra sobre el precio de mercado.
- Un nivel de protección estricto convierte las correcciones en salidas
Al 23,6 % el margen es pequeño, las posiciones baratas solo pueden cerrarse en esquirlas, y —como señala el libro blanco— el rescate pasa a ser la mejor opción para ellas. El depósito se vacía por rescate y no por dilución; el respaldo se queda cerca de su máximo. La estrictez es buena para los titulares, neutra para el fondo y apenas visible en las ondas cotidianas: el nivel es un seguro contra catástrofes, y el valor laxo por defecto está justificado.
- El canal del pagador está desactivado por defecto
La comisión de transferencia es el único canal cuyo tamaño lo fija el uso y no el precio, y todo «la rotación alimenta el suelo» descansa en ella. Su valor por defecto es cero; los titulares la activan desde la etapa 2. Hasta entonces, el rol del pagador es un medio de pago, no de acumulación.
- La anchura realizada del corredor es una elección de nivel de comisión del fondo
La banda de equilibrio del trader iguala el coste de un ciclo completo; en Arbitrum el gas es despreciable, quedan dos comisiones del fondo y el deslizamiento. Con un nivel del 1 % la banda se asienta cerca del dos al dos y medio por ciento. El nivel de comisión de Uniswap es un parámetro del protocolo de hecho, aunque no de forma.
El colateral volátil rompe la monotonía del suelo. La demanda es exógena: el modelo dice qué hacen las reglas con la demanda que llega, no de dónde viene. Y los límites del corredor los sostienen arbitrajistas, que no existen antes que la liquidez: la liquidez inicial de los fundadores es una condición de toda la construcción, no un gesto.